«Анализ и математическая статистика»
Сотрудники направления
Руководитель направления,
ведущий научный сотрудник,
д.ф.-м.н., профессор
Со-руководитель направления, ведущий научный сотрудник, PhD, профессор Реджайнского университета (Реджайн, Канада)
Главный научный сотрудник,
д.ф.-м.н., профессор
Главный научный сотрудник,
д.ф.-м.н., профессор, член-корреспондент АН РТ
Ведущий научный сотрудник,
д.ф.-м.н., доцент
Научный сотрудник,
к.ф.-м.н., доцент
Младший научный сотрудник, к.ф.-м.н.
Младший научный сотрудник, аспирант
Младший научный сотрудник, аспирант
Младший научный сотрудник
Дютин Андрей Юрьевич
Лаборант-исследователь, магистрант
Цели и задачи направления
Цели и задачи лаборатории направлены на проведение фундаментальных и прикладных исследований в области математического анализа, теории вероятностей и математической статистики. Подготовка кадров высшей квалификации.
Направления исследований
1
Экстремальные проблемы комплексного анализа
Основные исследования проводятся в области комплексного анализа и его приложений к задачам механики математической физики. Объектами исследования являются различные классы аналитических функций (включая конформные отображения), а также различные евклидовы и конформные характеристики областей. Очень часто одинаковые с математической точки зрения объекты имеют различную физическую интерпретацию. Этот факт позволяет применять разнообразные методы из различных областей математики и математической физики.

Проводятся исследования по взаимосвязи критических точек и критических значений полиномов, которые были инициированы филдсовским лауреатом С. Смейлом в 80-х годах 20 века. Нами получены продвижения по основной, а также по дуальной гипотезам Смейла о критических значениях полиномов.

Проводятся исследования аппроксимативых свойств наипростейших дробей. В этом направлении решена проблема чл.-корр. РАН В.Ю. Протасова о сходимости ряда из наипростейших дробей в пространствах интегрируемых на вещественной оси функций.

Получен ряд точных результатов о радиусе Бора в различных пространствах аналитических в круге функций, в частности, недавно нами была решена проблема Дьякова и Раманужана, поставленная в 2000 году.
2
Теория вероятностей и математическая статистика
В рамках общей теории принятия статистических решений, рассматривается анализ последовательности статистических экспериментов, в каждом из которых функция правдоподобия зависит от случайного параметра, имеющего собственное априорное распределение. Это так называемые проблемы множественного тестирования и множественного оценивая. Типичные примеры таких проблем, имеющие место на практике, это задачи гарантийного контроля качества; оценки характеристик изучаемых объектов с заданной точностью и надёжностью; статистический анализ экспрессии генов, ответственных за патологию; одновременное исследование экономического состояния большого числа регионов (областей); выявление препаратов в наибольшей степени способствующих улучшению состояния пациентов, и так далее.

В основе наших исследований лежит принципиально новый подход к определению точности и надёжности статистического вывода. Так, мы предлагаем статистические правила контроля качества, при которых контролируется не заданные ограничения на риск потребителя (вероятность пропуска при контроле некондиционной продукции), а доля некондиционной продукции, полученной потребителем. Аналогично, при аттестации (оценки) параметра, характеризующего состояние исследуемого объекта, мы гарантируем не вероятность большого отклонения статистической оценки от истинного неизвестного значения параметра, я вероятность того, что случайное значение параметра отстоит далеко от полученного значения оценки. Это так называемый d-постериорный подход к проблемам гарантийный статистического вывода, разрабатываемый в Казанском университете с конца 70-х годов прошлого века и нашедшего столь важное применение в генетических исследованиях.
3
Теория операторных алгебр и некоммутативного интегрирования
Проводятся исследования актуальных проблем статистической квантовой механики методами теории операторных алгебр и теории некоммутативного интегрирования. На языке алгебр операторов, их состояний, представлений и групп автоморфизмов нами исследуются свойства модельных систем с бесконечным числом частиц, изучаемых квантовой теорией поля и статистической физикой, а также исследуются понятия "независимости событий" в некоммутативной теории вероятностей.

Предполагается исследование новых алгебраических, топологических и порядковых свойств некоммутативных идеальных пространств и топологии сходимости по мере на полуконечных алгебрах фон Неймана, а также изучение слабой субмажоризации Харди, Литлвуда и Полиа и равномерной субмажоризации Калтона и Сукочева для алгебр измеримых операторов. Планируется получение новых характеризаций следовых состояний на алгебрах фон Неймана и на С*-алгебрах и установление критериев абелевости этих алгебр.