для произвольного натурального числа n найти такое наименьшее число k, что корень общего уравнения n-ой степени как функция от его коэффициентов представляется в виде суперпозиции алгебраических функций от k переменных. Проблема резольвент в такой формулировке связана с тринадцатой проблемой Гильберта из его знаменитой серии, состоящей из двадцати трех проблем математики, решение которых, по словам самого Гильберта, «может значительно стимулировать дальнейшее развитие науки». Н. Г. Чеботарев проблеме резольвент посвятил целую серию работ. За совокупность работ в этой области ему посмертно была присуждена Сталинская премия 1-ой степени (1948).

Ряд учеников Н.Г. Чеботарева изучали поставленную им проблему продолжаемости полиномов. Полином f(x) называется M-продолжаемым, где M – некоторое множество комплексных чисел, если путем добавления к нему членов высших порядков можно получить полином, все корни которого будут принадлежать M. А.И. Гаврилов доказал, что всякий полином является М-продолжаемым, если М – окружность ненулевого радиуса, центр которого находится в начале координат. Другой аспирант Николая Григорьевича Н.Н. Мейман исследовал случай, когда M является множеством вещественных чисел. В этом случае проблема продолжаемости полинома сводится к проверке выполнения бесконечного числа неравенств. Н.Н. Мейману удалось разработать алгоритм, с помощью которого за конечное число шагов удается определить, выполняются ли эти условия. За эти исследования Н.Н. Мейману также была присуждена степень доктора наук, минуя кандидатскую.

Работы Н.Г. Чеботарева и его учеников получили широкое признание во всем мире. В 1930-е годы Казань становится одним из мировых центров алгебраических исследований, возникает авторитетная Казанская алгебраическая школа, задающая тон мировым исследованиям по многим направлениям современной алгебры, а ее глава Н.Г. Чеботарев приглашается с обзорными докладами на крупнейшие математические форумы того времени: по теории алгебраических чисел – на первый Всесоюзный математический съезд (Харьков, 1930); по теории Галуа – на Всемирный математический конгресс (Цюрих, 1932) и на второй Всесоюзный математический съезд (Ленинград, 1934).

В 1960 г. Басс получил характеризацию совершенных справа колец, т. е. колец, над которыми проективны все правые плоские модули. Проблемой характеризации S-колец занимались многие известные специалисты по теории колец и модулей, например, С. Эндо, В. Васкенселос, С. Йондруп. Изучая S-кольца, И. И. Сахаев разработал глубокую технику работы с регулярными в кольцах последовательностями. С ее помощью ему удалось получить полное описание правых S-колец. Эти результаты легли в основу его кандидатской диссертации (1969). В 1974 г. Лазаром была выдвинута гипотеза о конечной порожденности каждого проективного модуля, у которого фактор-модуль по радикалу Джекобсона конечно порожден. Для коммутативных колец эта гипотеза была доказана самим Лазаром. Справедливость этой гипотезы для РІ-колец была установлена С. Йондрупом. И. И. Сахаевым были получены необходимые и достаточные условия, при которых гипотеза Лазара верна. В 1984 г. была опубликована совместная работа В. Н. Герасимова и И. И. Сахаева, в которой был построен пример полулокального кольца, для которого гипотеза Лазара не выполняется. Эти и другие его результаты легли в основу его докторской диссертации, защищенной в 1994 г. в Санкт-Петербургском университете.

В настоящее время на кафедре развиваются четыре направления по алгебре. Опишем каждое из них. Алгебры Хопфа, их действия и кодействия на ассоциативных алгебрах изучает С.М. Скрябин. В его работах был получен ряд фундаментальных результатов о проективности и плоскостности алгебры Хопфа как модуля над подалгебрами Хопфа. Разработана теория, обобщающая категорные эквивалентности, связанные с категориями квазикогерентных пучков на однородном пространстве, в духе некоммутативной алгебраической геометрии.

Теорию операд и их приложения изучал С.Н. Тронин — ученик И.И. Сахаева. С.Н. Тронин под руководством И.И. Сахаева в 1989 г. защитил кандидатскую диссертацию «О ретракциях свободных алгебр и модулей», где в качестве приложения развитых общих методов изучения ретракций свободных алгебр было показано, что любой ретракт алгебры многочленов над совершенным полем, имеющий размерность Крулля, равную двум, изоморфен кольцу многочленов от двух переменных. Этот результат не улучшен до сих пор. В 1990-х гг. С.Н. Тронин получил ряд результатов в разных разделах алгебры. В частности, им была найдена конструкция категорий частных, являющаяся обобщением колец частных Герасимова и Малколмсона. С конца 1990-х гг. С.Н. Тронин занялся исследованиями в области теории операд. Предложенный им подход основывается на более общем определении самого понятия операды, причем обобщение состоит в том, что вместо действия симметрических групп (что используется в абсолютном большинстве других исследований) берется действие морфизмов особых категорий, названных автором вербальными. По результатам этих исследований в 2011 г. С.Н. Трониным была защищена докторская диссертация на тему «Операдные и категорные методы в теории многообразий универсальных алгебр».

Основателем научного направления «Теория колец и модулей» на кафедре алгебры и математической логики является И.И. Сахаев. В настоящее время исследования по этому направлению проводят профессор А.Н. Абызов и его ученик Д.Т. Тапкин. Как было отмечено выше, И.И. Сахаевым был получен ряд фундаментальных результатов о плоских модулях. Также И.И. Сахаев инициировал изучение слабо регулярных модулей; по этой теме учениками И.И. Сахаева защищены две кандидатские диссертации. Одной из основных проблем, связанных со слабо регулярными модулями, является поставленная И.И. Сахаевым задача об описании колец, над которыми каждый модуль является слабо регулярным. Эта проблема решена А.Н. Абызовым. В настоящее время А.Н. Абызов со своими зарубежными коллегами проводит исследования по актуальным проблемам, связанным с модулями, близкими к проективным и инъективным. В совместных работах А.Н. Абызова и Д.Т. Тапкина изучены различные теоретико-кольцевые свойства колец формальных матриц и проблема изоморфизма для них. Одной из классической проблем современной алгебры является гомологическая классификация колец, т.е. изучение связей между свойствами колец и свойствами категорий модулей над ними. Аналогичной задачей в рамках теории полуколец и полумодулей совместно с зарубежными математиками занимается доцент кафедры алгебры и математической логики С.Н. Ильин. Им получен ряд результатов, характеризующих различные классы полуколец свойствами инъективных, проективных, плоских и т. п. полумодулей над ними. Эти результаты легли в основу защищенной С.Н. Ильиным докторской диссертации.

Со второй половине 1970-х годов на кафедре проводятся исследования по математической логике. Хотя еще в дореволюционном Казанском университете выполнялись работы, проблематика которых относилась к математической логике (П.С. Порецкий, Н.А. Васильев, Н.Н. Парфентьев; первый в России курс лекций по математической логике также читался в Казанском университете профессором П.С. Порецким), устойчивой традиции в этой области исследований в нашем университете не было. Можно говорить о косвенной преемственности при формировании школы математической логики в Казанском университете в 1970-е годы. Источником этой преемственности служил прежде всего профессор В.В. Морозов (1910–1975), разносторонний ученый, обладающий высоким уровнем математической культуры.

Решающую роль в количественном росте и расширении тематики логико-математических исследований в Казанском университете сыграла многолетняя работа логического семинара под руководством М.М. Арсланова, ученика В.В. Морозова. Семинар воспитал целый ряд ученых, ныне работающих в различных областях математической логики в разных городах России и стран СНГ.

Прежде всего целый ряд крупных результатов в исследовании алгебраической структуры тьюринговых степеней неразрешимости, в разработке их структурной теории были получены самим М.М. Арслановым. Его работы, в которых он исследовал тьюринговые степени, содержащие функции без т.н. ''неподвижных точек'', с их помощью сформулировав критерии полноты множеств в арифметической иерархии, положили начало целому направлению исследований в этой области с участием крупнейших математиков со всего мира, работающих в теории вычислимости. Теперь эти критерии хорошо известны в литературе как критерии полноты Арсланова и входят во все учебники по теории вычислимости.

Основные научные интересы коллектива концентрированы вокруг проблем анализа структур, связанных с относительной сложностью вычислений значений функций натурального аргумента и с натуральными значениями. Главной мерой такой сложности является сводимость по Тьюрингу: функция f вычисляется проще, чем функция g, если существует машина Тьюринга, которая может вычислить значения f при условии, что она имеет доступ к значениям g. Кроме того, нас интересуют также другие варианты сложности вычислений, которые определяются наложением разного рода ограничений на понятие «доступ к значениям g».

Основными направлениями этих исследований являются проблемы, связанные с разработкой структурных теорий возникающих моделей вычислений, а также оценка информационной насыщенности различных естественных классов функций. Полученные в этом направлении результаты позволили сформулировать критерии принадлежности конкретных совокупностей функций к тем или другим классам сложностей, а также выявить основные структурные различия между различными моделями вычислений. Методы, разработанные в этих исследованиях, также полезны при выяснении эффективного содержания стандартных математических теорем (в каких случаях возможно эффективизировать доказательства существования?) и при оценке сложности комбинаторных теорем в терминах теории доказательств. В последние годы в коллективе изучаются также вопросы конструктивной теории моделей и алгебры, связанные с проблемами определимости естественных классов множеств в алгебраических структурах, связанных с теорией вычислимости, а также вопросы алгоритмической разрешимости ограниченных фрагментов этих структур.

Центральным понятием классической теории вычислимости является понятие степени. Степенью множества A называется совокупность всех множеств B, эквивалентных относительно тьюринговой сводимости множеству A. Частично упорядоченная отношением, индуцированным относительной вычислимостью, совокупность степеней образует структуру степеней.

В 2000-х годах на кафедре алгебры и математической логике начинает активно развиваться направление вычислимых линейных порядков. Первые результаты этого направления были получены в кандидатской диссертации А.Н. Фролова, еще одного ученика М.М. Арсланова. В своих первых работах А.Н. Фролов разрабатывал технику построения вычислимых представлений для линейных порядков, в алгоритмическом смысле близких к вычислимым и называемых низкими. Им (в некоторых случаях в совместных работах) был получен целый ряд результатов, позволяющих получить описание самого широкого известного на данный момент класса низких линейных порядков, имеющих вычислимые представления (этот вопрос был поставлен Р. Доуни в 1998 году). А.Н. Фролов также изучал вопросы описания спектров представлений линейных порядков. Первые результаты в этом направлении им были получены еще кандидатской диссертации. Впоследствии им был получен ряд примеров ограниченных спектров линейных порядков, построены примеры спектров линейных порядков, содержащих в точности все n-высокие степени, а также все степени, не являющиеся n-низкими для n > 1. Все эти результаты легли в основу его докторской диссертации, защищенной в 2014 году.

Ученик Фролова М. В. Зубков исследовал связь между вычислимыми линейными порядками, предельно монотонными функциями и эта-представлением. В кандидатской диссертации он дал описание сильно эта-представимых тьюринговых степеней, в терминах псевдовозрастающих на множестве рациональных числе предельно монотонных функций. Им также изучались уровни разностной иерархии Σ-0-2 множеств, содержащие сильно эта-представимые множества.

На кафедре активно продолжает развиваться и такое классическое направление теории вычислимости, как разработка локальной теории степеней неразрешимости. В 2009 году М. М. Ямалеев под руководством М. М. Арсланова защитил кандидатскую диссертацию, в которой установил ряд структурных свойств 2-в.п. тьюринговых степеней. В качестве следствия им было получено элементарное отличие низких в.п. и низких 2-в.п. тьюринговых степеней. Далее, М. М. Ямалеев продолжил работу в этом направлении и исследовал различные степенные структуры, индуцированные сильными и слабыми алгоритмическими сводимости. В частности, ему удалось получить полное решение проблемы определимости и элементарной эквивалентности для структур m-степеней множеств из конечных уровней иерархии Ершова.

Н.Н. Корнеева в кандидатской диссертации, выполненной под руководством М.М. Арсланова, изучала сложности бесконечных последовательностей над конечным алфавитом относительно различных типов автоматной сводимости, таких как конечно-автоматная и асинхронно автоматная сводимости, и возникающие при этом степени неразрешимости. Ею также были тщательно исследованы структурные свойства множества степеней асинхронно автоматных преобразований. В частности, было установлено существование континуума атомов, вложимость любого конечного линейно-упорядоченного множества как начального сегмента. Также был получен отрицательный ответ на вопрос дополняемости вверх и положительный ответ на вопрос дополняемости вниз как в множестве степеней асинхронно автоматных преобразований, так и в множестве степеней конечно-автоматных преобразований.